テニスの世界大会 バレーや卓球に比べて番狂わせが少ない訳

テニスの世界大会 バレーや卓球に比べて番狂わせが少ない訳

全米オープンでの活躍が期待される錦織圭選手(時事通信フォト)

 8月27日(日本時間)よりテニス4大大会の最後を飾る全米オープン(本戦)が開催されるが、過去の世界大会の試合結果を見ると、大会の上位メンバーがいつも同じ顔ぶれに感じないだろうか? 男子シングルスの錦織圭選手をはじめ、日本の選手が健闘して上位の選手を破ることもあるが、多くの場合、ランキング(実力)どおりに勝敗が決まる。ニッセイ基礎研究所主席研究員の篠原拓也氏が、そんな“番狂わせ”が起こりにくいテニスの点数カウントの仕組みについて分析する。

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 いま、いろいろなスポーツが花盛りだ。特に、点をとったりとられたりする球技は、試合途中の情勢が明確で、観客が盛り上がりやすい。

 球技には、大きく分けて2つのタイプがある。1つは、野球、サッカー、ラグビーのように、1プレイごとに対戦しているどちらかのチームに点が入るとは限らないもの。もう1つは、テニス、卓球、バドミントン、バレーボールのように、1プレイごとに必ず対戦しているプレーヤーやチームのどちらかに点が入るタイプだ。

 このタイプは「ラリーポイント制」と呼ばれ、ある点数に到達すると、セットやゲームを獲得する。そして、獲得したセットやゲーム数がある数に達すると試合に勝利する。

 少し細かい点だが、テニスの場合、ファーストサービスのフォルトは1プレイとみなさず、ダブルフォルトになったときに1プレイとみなす。また、硬式テニスでは、ふつうは1点、2点、3点といわずに、15点、30点、40点というが、ややこしくなるので、ここでは1点、2点、3点と表す。

 テニスは、点数カウントの仕組みが複雑だ。先に4点を獲得したプレーヤーがゲームを取る。そして、先に6ゲームを獲得したプレーヤーが、セットを獲る。ただし、ゲームカウントが5-5で並んだ場合は、ゲームを2つ立て続けにとって7-5にするか、もしくは、ゲームカウント6-6で並んでタイブレークという7点先取のゲームをとるとセットを獲得できる。そして、3セットを先に獲得したプレーヤーが勝利する(5セットマッチの場合)。

 ここで、デュースという点数カウントの仕組みがある。あるゲームで点数が3-3で並んだ場合は、2点差をつけて上回らないと、そのゲームを獲得できない。また、タイブレークにも、デュースがある。点数が6-6で並んだ場合は、2点差をつけて上回らないと、そのセットを獲得できない(※注)。デュースがあることで、試合の緊張感が高まり、1プレイごとに観客が大いに沸くこととなる。

※注/4大大会のシングルスの試合では、最終セットでゲームカウントが6-6で並んだ場合、決着のつけ方がそれぞれ異なる。全米大会は、通常のセットと同様、7点先取のタイブレーク。全豪大会は、10点先取のタイブレーク。全仏大会はタイブレークを行わずにどちらかが2ゲーム差をつけて相手を上回るまで試合が決着しない。全英大会は、以前は全仏大会と同じだったが、2019年から仕組みが変わった。2ゲーム差がつかないままゲームカウントが12-12で並んだ場合、7点先取のタイブレークで決着をつけることとなった。

 実は、テニスの1ゲームのスコアは、確率的に計算できる。これは、1つのゲームを獲得するまでのプレイの回数が、「負の二項分布」と呼ばれる確率分布に従うためだ。これ以後、算式が出てきて、やや難解かもしれない。算式をとばして、後の【計算結果】まで読み進んでいただいても構わない。

 例えば、プレーヤーAとBが対戦するとしよう。1プレイでAが得点する確率を、pと置く。Aが得点できない確率(Bが得点する確率)は、(1-p)だ。それぞれのプレイでの得点は、過去のプレイの結果とは無関係に、独立に決まると想定する。

 さて、Aが4-0のラヴゲームで、ゲームを獲得する確率はどれくらいか。これは、確率pが4回続けて起こるのだから、(pの4乗)となる。

 Aが4-1のスコアでゲームを獲得する確率はどうか。Bが1点を取るのが、Aが0点、1点、2点、3点のときの4パターンある。したがって、4×(1-p)×(pの4乗)となる。

 同様に、Aが4-2のスコアでゲームを獲得する確率は、10×{(1-p)の2乗}×(pの4乗)となる。ここで、10という数字は、Bが2点を取るパターンの数だ。

 ややこしいのが、点数が3-3で並んで、デュースの末にAがゲームを獲得するケースだ。まず、点数が3-3になる確率は、先ほどまでと同じように、20×{(1-p)の3乗}×(pの3乗)となる。

 これに、デュース後にAが2点差をつけてBを上回る確率をかける。

 まず、Aが2点続けて取る確率は、(pの2乗)。デュース後の2つのプレイでAとBが1点ずつを取り合って、1回デュースに戻ってから、Aが2点続けて取る確率は、2p(1-p)×(pの2乗)となる。

 2回デュースに戻ってから、Aが2点続けて取る確率は、[{2p(1-p)}の2乗]×(pの2乗)。3回デュースに戻ってから、Aが2点続けて取る確率は、[{2p(1-p)}の3乗]×(pの2乗)……。

 高校の数学で出てきた等比数列の和の計算法を使って、これらを足していく。その結果、デュース後にAが2点差をつけてBを上回る確率は、(pの2乗)÷(1-2p〈1-p〉)となる。

 したがって、Aがデュースの末にゲームを獲得する確率は、以下のようになる。

20×{(1-p)の3乗}×(pの3乗)×(pの2乗)÷{1-2p(1-p)}

 つまり、Aがゲームを取る確率は、4-0のラヴゲーム、4-1のスコア、4-2のスコア、デュースの末、のそれぞれでゲームを取る確率を、全部足し算して、

(pの4乗)+4×(1-p)×(pの4乗)+10×{(1-p)の2乗}×(pの4乗)+20×{(1-p)の3乗}×(pの5乗)÷{1-2p(1-p)}

 となる。かなりごちゃごちゃしているが、pが決まれば、なんとか計算できるわけだ。

 そして、これを何ゲームも繰り返していって、6つのゲームを取るとセットが得られ、獲得したセットの数が3つになると、試合に勝利することになる(5セットマッチの場合)。

【計算結果】
 1プレイの得点確率に対して、ゲームを取る確率、セットを取る確率、試合に勝つ確率はどれくらいなのか。1プレイの得点確率を、60%、55%、53%、51%の4通りにおいてみる。計算結果は、別掲の表のようになった。

 1プレイの得点確率が60%ある場合(相手の得点確率は40%にとどまる場合)、ゲームを獲得する確率は73.6%、セットを獲得する確率は96.3%、そして試合に勝利する確率は99.95%、という計算結果だ。

 つまり、1プレイの得点確率が60%あると、ほぼ確実に試合に勝てる。この確率が55%や53%の場合でも、試合には95.3%や84.3%とかなり高い確率で勝てる。それどころか、両者がほぼ互角で、1プレイの得点確率が51%(相手の確率は49%)とわずかに相手を上回るような場合でも、試合に勝つ確率は63.2%とけっこう高い。

 これをバレーボール(6人制、5セットマッチ)、卓球(7ゲームマッチ)、バドミントンと比較したい。ここで、それぞれの球技の点数カウントの仕組みについても、簡単にみておこう。

 バレーボールは、先に25点を獲得したチームがセットを取る。ただし、点数が24-24で並んだ場合は、デュースとなって2点差をつけて相手を上回った場合にセットを取る。そして、先に3セットを獲得したチームが勝利する。

 ただし、セットカウントが2-2で並んだ場合は、第5セットは、15点を獲得したチームがセットを取って試合に勝利する。なお、第5セットの点数が14-14で並んだ場合は、デュースとなって2点差をつけて相手を上回ったチームが試合に勝利する。

 卓球は、先に11点を獲得したプレーヤーがゲームを取る。ただし、点数が10-10で並んだ場合は、デュースとなって2点差をつけて相手を上回った場合にゲームを取る。そして、先に4ゲームを獲得したプレーヤーが勝利する(7ゲームマッチの場合)。

 バドミントンは、先に21点を獲得したプレーヤーがゲームを取る。ただし、点数が20-20で並んだ場合は、デュースとなって2点差をつけて相手を上回った場合にゲームを取る。なお、デュースが続いて点数が29-29で並んだ場合は、30点目の点を獲得したプレーヤーがゲームを取る。そして、先に2ゲームを獲得したプレーヤーが勝利する。

 さて、結果を比べてみよう。1プレイの得点確率を55%とした場合、試合の勝利確率は、テニスが95.3%なのに対し、バレーボールが90.1%。卓球が85.6%、そしてバドミントンが83.9%という計算結果が出た。つまり、テニス、バレーボール、卓球、バドミントンの順番に、試合に勝利する確率が高い。この順番は、1プレイの得点確率を60%、53%、51%にした場合も同じだ。

 つまり、この4つの球技のなかで、テニスは、相手との1プレイの得点確率の差が、試合の勝敗にもっとも影響しやすいといえる。これは、劣勢とみられていたプレーヤーが勝つ、いわゆる“番狂わせ”が起きにくいともいえる。

 最後に、1つ重要な注意点を述べる。今回取り上げた4つの球技では、サービスをするか、レシーブをするかで、1プレイの得点確率は全く違ったものになることが多い。特に、テニスはその傾向が顕著だ。しかし、上記の分析では計算が複雑になることを避けるために、サービスかレシーブかの違いは考慮せずに1プレイの得点確率を置いている。その点にご注意いただきたい。

 全米大会は、点数カウントの仕組みが試合に与える影響も少し考えながら観戦してみてはいかがだろうか。

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